======= Feladatok =======


1. Interpoláció\\
1.1 Lagrange-féle és Newton-féle interpoláció\\
1.2 Inverz interpoláció\\
2. Nemlineáris egyenletek megoldása\\
2.1 Fixpont iterációs módszer\\
2.2 Intervallumfelezés és húrmódszer\\
2.3 Newton-Rapson módszer (és húr-módszer)\\
2.4 Algebrai egyenletek megoldása\\
3. Numerikus differenciálás\\
4. Numerikus integrálás\\
5 Lineáris algebra numerikus módszerei\\
5.1 Determinánsok\\
5.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldása\\
5.2.1 Gauss-módszer\\
5.2.2 Négyzetgyökök módszere\\
5.2.3 Iterációs módszerek\\
5.2.4 Gradiens módszer\\
6. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása\\
6.1 Fokozatos közelítések módszere\\
6.2 Newton-Kantorovics módszer\\
6.3 Gradiens-módszer\\
7. Legkisebb négyzetek módszere\\



====== 1. Interpoláció ======

===== 1.1.  Lagrange-féle és Newton-féle interpoláció =====

1. Illesszük minimális fokszámú polinomot az alábbi pontokra! 

$\quad a)\ (-1; 6), (0; 3), (1; 2)$

$\quad b)\ (1; 1), (4; 19), (5; 29)$

$\quad c)\ (0; 0,\!5), (0,\!1; -0,\!48), (0,\!5; 0)$

$\quad d)\ (-1; 1,\!5), (0,\!3; 1,\!89), (0; 0,\!5), (0,\!25; 1,\!8125)$

$\quad e)\ (-1; 1), (0; -1), (0,\!5; -0,\!5), (1; -1), (2; 1)$



2. Számítsuk ki a megadott alappontok felhasználásával az alábbi függvények közelítését!

$\quad a)\ f(x) = x^{\displaystyle\frac{1}{4}} +x - 2$,\\  
$\qquad\ x_0 = 0,\quad x_1 = 1, \quad x_2 = 16, \quad x_3 = 81$ \\ 
$\qquad\ f(0,\!5) = ?\quad f(25) = ? \quad f(80) = ?$

$\quad b)\ f(x) = e^x$, \\ 
$\qquad\ x_0 = 0,\quad x_1 = 0,\!5, \quad\ x_2 = 1$ \\ 
$\qquad\ f(-1) = ? \quad f(0,\!7) = ?\quad f(3) = ?$

$\quad c)\ f(x) = \sin x$, \\ 
$\qquad\ x_0 = 0, \quad  x_1 = \displaystyle\frac{\pi}{6},\quad x_2 = \displaystyle\frac{\pi}{3},\quad x_3 = \displaystyle\frac{π}{2},$ \\ 
$\qquad\ f\left(\displaystyle\frac{\pi}{18}\right) = ?\quad f\left(\displaystyle\frac{7\pi}{36}\right) = ?\quad f\left(\displaystyle\frac{8\pi}{18}\right) = ?$

$\quad d)\ f(x) = \ln x$, \\ 
$\qquad\ x_k = 0,\!3 +kh, \quad h=0,\!1, \quad k =0, 1, …, 8$ \\ 
$\qquad\ f(0,\!65) = ?\quad f(0,\!0001) = ? \quad  f(0,\!2) = ?$



3. Becsüljük meg az interpoláció maximális hibáját!

$\quad a)\ f(x) = e^x$,\\ 
$\qquad\ x_0 = 0, \quad x_1 = 0,\!5, \quad x_2 = 1$

$\quad b)\ f(x) = \ln(1 +x),\quad  x> -1,$ \\ 
$\qquad\ x_0 = -0,\!5,\quad x_1 = 0, \quad x_2 = 0,\!5$

$\quad c)\ f(x) = x+ \sin x$, \\ 
$\qquad\ x_0 = 0, \quad x_1 = \displaystyle\frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \displaystyle\frac{\pi}{2}$

$\quad d)\ f(x) = x^{\displaystyle\frac{1}{2}}$, \\ 
$\qquad\ x_0 = 2,\quad x_1 = 4, \quad x_2 =9$



4. Mekkora lesz a hibabecslés, ha az adott függvényeket az adott intervallumokon lineárisan interpoláljuk?

$\quad a)\ f(x) = x^{\displaystyle\frac{1}{2}},\quad x \geqslant 0$, \\ 
$\qquad\ a_1)\ [0; 1]$, \\ 
$\qquad\ a_2)\ [4; 9]$, \\ 
$\qquad\ a_3)\ [40; 50]$.

$\quad b)\ f(x) = e^x$, \\ 
$\qquad\ b_1)\ [-10; -1]$, \\ 
$\qquad\ b_2)\ [-1; 1]$, \\ 
$\qquad\ b_3)\ [1; 10]$.  

$\quad c)\ f(x) = x^3-x,\quad -1 \leqslant x \leqslant 1$ \\ 
$\qquad\ c_1)\ [0; 0,\!5]$, \\ 
$\qquad\ c_2)\ [0,\!5; 1]$. \\ 

5. Milyen sűrűn kell megadni az alábbi függvényértékeket, hogy a két szomszédos pont között lineárisan interpolálva a hibabecslés kisebb legyen, mint  $0,\!5\cdot 10^{-6}$?

$\quad a)\ \cos x,\quad 0 \leqslant x \leqslant \pi$, \\ 

$\quad b)\ e^x,\quad -2 \leqslant x \leqslant 3$, \\ 

$\quad c)\ x^{\displaystyle\frac{1}{2}},\quad 0,\!01 \leqslant x \leqslant 4$, \\ 

$\quad d)\ x\cos x,\quad\ -\displaystyle\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \displaystyle\frac{\pi}{2}$, \\ 

$\quad e)\ x^3 - x,\quad\ 0 \leqslant x \leqslant \pi$.

6. Adott a következő táblázat: \\ 

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   x&2,\!0&2,\!3&2,\!5&3,\!0&3,\!5&3,\!8&4,\!0 \\ \hline
f(x)&5,\!848&6,\!127&6,\!300&6,\!694&7,\!47&7,\!243&7,\!368 \\ \hline
\end{array}\end{equation}$ \\ 

$\quad$ Határozzuk meg a függvényértékek közelítését a következő pontokban: \\
$\qquad\ a)\ 2,\!22$, \\
$\qquad\ b)\ 2,\!41$, \\
$\qquad\ c)\ 2,\!78$, \\
$\qquad\ d)\ 3,\!34$, \\
$\qquad\ e)\ 3,\!75$, \\
$\qquad\ f)\ 3,\!88$. \\

 

===== 1.2. Inverz interpoláció =====

1. Tekintsük a következő táblázatot! \\

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
X & 1,\!00 & 1,\!00 & 1,\!05 & 1,\!10 & 1,\!15 & 1,\!2 & 1,\!25 \\ \hline
f(x) & 2,\!00000 & 2,\!00000 & 2,\!00238 & 2,\!00909 & 2,\!01957 & 2,\!03313 & 2,\!05000 \\ \hline
\end{array}\end{equation}$ \\

$\quad$ Határozzuk meg annak az $x$-nek a közelítő értékét, melyre a függvény értéke a következő: \\ 
$\qquad a)\ 2,\!00139 $ \\
$\qquad b)\ 2,\!00194 $ \\
$\qquad c)\ 2,\!00373 $

2. Inverz interpoláció alkalmazásával határozzuk meg a következő függvények gyökét $ε$ pontossággal az $[a, b]$ intervallumban! \\ 

$\quad a)\ y =x^2 +\ln x,\quad ε =10^{-4},\quad a = 1,\!5,\quad b = 1; $ \\ 

$\quad b)\ y =x^2 +\ln x - 4,\quad  ε =10^{-4},\quad a = 1,\!5,\quad b = 2; $ \\ 

$\quad c)\ y =x^2 +\sin x,\quad ε =10^{-4},\quad  a = 0,\!5,\quad  b = 1; $ \\ 

$\quad d)\ y =2x^{\displaystyle\frac{1}{2}} -\cos\left(\displaystyle\frac{\pi x}{2}\right),\quad ε =10^{-5},\quad a = 0,\!2,\quad b = 0,\!3; $ \\ 

3. Keressük meg inverz interpolációval az $f$ függvény $0,\!3$ és $0,\!4$ között levő gyökének közelítő értékét a következő táblázat alapján:\\
$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
x & 0,\!1 & 0,\!2 & 0,\!3 & 0,\!4 & 0,\!5 \\ \hline
f(x) & 0,\!70010 & 0,\!40160 & 0,\!10810 & -0,\!17440 & -0,\!43750 \\ \hline
\end{array}\end{equation}$ \\
 

====== 2. Nemlineáris egyenletek megoldása ======

===== 2.1. Fixpont iterációs módszer =====

Közelítsük az egyenletek megoldásait az adott szakaszokon különböző kezdőértékekkel, és vizsgáljuk meg a módszerek konvergenciáját:

$\quad a)\ \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\ln(x + 1) =0$, \\  
$\qquad\ x_{n+1} = x_n + \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\ln(x_n + 1),\quad [-0,\!5; 0,\!5].$ \\

$\quad b)\ x - 2\sin x = 0, $ \\ 
$\qquad\ x_{n+1} = 2\sin x_n,\quad [-\pi; -0,\!1], [0,\!1; \pi] $ \\
 
$\quad c)\ x^{\displaystyle\frac{1}{2} } + 3x - 1 = 0, $ \\ 
$\qquad\ x_{n+1} = x_n^{\displaystyle\frac{1}{2}} + 4x_n - 1, $ \\ 

$\quad d)\ x^3 - x = 0$, \\   
$\qquad\ x_{n+1} = x_n^3, $ \\ 

$\quad e)\ x^3  + \ln x = 5$, \\ 
$\qquad\ x_{n+1} = (5 - \ln x_n )^{\displaystyle\frac{1}{3}},\quad [1; 2] $ \\ 

$\quad f)\ 3^x -2x - 1 =0, $ \\ 
$\qquad\ x_{n+1} = \displaystyle\frac{3^x - 1}{2} $ \\ 

$\quad g)\ \sin x =5x, $ \\ 
$\qquad\ x_{n+1} = \displaystyle\frac{\sin x_n}{5} $ \\ 


===== 2.2. Intervallumfelezés és húrmódszer ===== 

$\quad a)\ x^{\displaystyle\frac{1}{2} } =4x - 2,\quad [0; 1],  [0,\!5; 1] $ \\ 

$\quad b)\ x^{\displaystyle\frac{1}{2} }  + 3x - 1 =0,\quad [0; 1], $ \\ 

$\quad c)\ x^3  + \ln x - 5 =0,\quad [0; 2], $ \\ 

$\quad d)\ \ln x - \displaystyle\frac{1}{(x +1)^2}  =0,\quad [1; 3], $ \\
 
$\quad e)\ xe^x =\cos x,\quad [0; 1], $ \\ 

$\quad f)\ \operatorname{tg} x - \cos x + \displaystyle\frac{1}{2} =0,\quad \left[0, \displaystyle\frac{\pi}{3}\right], $ \\ 

$\quad g)\ e^x \cos x - \displaystyle\frac{x}{2} = 0, \quad \left[0, \displaystyle\frac{\pi}{2}\right]. $ \\ 


===== 2.3. Newton-Rapson módszer (Húr módszer) =====  

$\quad a)\ x^{\displaystyle\frac{1}{2}}  + 3x -1 = 0,\quad x_0 =0; 1. $ \\ 

$\quad b)\ \displaystyle\frac{1}{2} \ln(x + 1) = 0,\quad x_0 =-0,\!4; 0,\!5. $ \\ 

$\quad c)\ x - 2\sin x = 0,\quad x_0 = 0,\!1; \pi. $ \\
 
$\quad d)\ x = -e^x,\quad x_0 =2; 0. $ \\
 
$\quad e)\ xe^x  = \cos x, \quad x_0 =0; 1. $ \\ 

$\quad f)\ (x - 1)e^{10x} + x^{-10} =0,\quad x_0 =0,\!5; 1. $ \\ 


===== 2.4. Algebrai egyenletek megoldása ===== 

1. Adjunk felső korlátot az alábbi egyenletek gyökeinek abszolút értékére! \\
 
$\quad a)\ x^3  - x^2  - 8\,x + 12 =0 $ \\ 

$\quad b)\ 3\,x^4  + x^3 - x^2 +x - 2 =0 $ \\
 
$\quad c)\ x^5  + x^4 - 21,\!14\,x^3 +2\,x - 45,\!2 =0 $ \\ 

$\quad d)\ x^4  - 3,\!2\,x^3 +1,\!643\,x^2 + 4,\!8\,x - 1 =0 $ \\ 

2. Alkalmazzuk a Horner-algoritmust az alábbi feladatokra.  \\ 

$\quad a)\ P_4(x) =x^4 - 2x^3 -x - 1;\quad P_4(2,\!4) =? $ \\ 

$\quad b)\ P_3(x) =x^3 - x^2 -8x + 12;\quad P_3(1,\!999) =?\quad P_3(2,\!001) =? $ \\ 

3. Adjunk becsléseket az alábbi polinomok gyökeire, és határozzuk meg az összes gyököt.  \\ 

$\quad a)\ 5\,x^3 + 2\,x^2 - 15\,x - 6 =0 $ \\ 

$\quad b)\ x^3  + x^2- 10\,x + 8 =0 $ \\ 

$\quad c)\ x^3 - 3\,x^2- 3 =0 $ \\ 

$\quad d)\ x^3 - x - 1 =0 $ \\ 

$\quad e)\ 1,\!23\,x^5 - 2,\!52\,x^4 - 1,\!61\,x^3  + 29,\!4\,x -1,\!34 =0 $ \\ 


====== 3. Numerikus differenciálás ======

1. Adott a következő táblázat: \\

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
X&0,\!96 &0,\!98&1,\!00&1,\!02&1,\!04\\ \hline
f(x)&0,\!7825361&0,\!7739332&0,\!7651977&0,\!7563321&0,\!7473390 \\ \hline
\end{array}\end{equation}$ \\

$\quad$ Határozzuk meg a függvény első és második deriváltjának közelítését az $x=1$ pontban!\\

2. Adott a következő táblázat: \\

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 
X &0,\!00 &0,\!05 &0,\!1 &0,\!15 &0,\!20 &0,\!25 \\ \hline 
F(x) &0,\!00000 &0,\!10017 &0,\!20134 &0,\!30452 &0,\!41075 &0,\!52110 \\ \hline 
\end{array}\end{equation}$ \\

$\quad$ Határozzuk meg a függvény első és második deriváltjának közelítését az $x=0$ és az $x=0,\!1$ pontokban.

 

====== 4. Numerikus integrálás ======

1. Közelítsük az alábbi integrálokat összetett trapéz- és Simpson- formulával és becsüljük meg a közelítés hibáját.

$\quad 1)\ \displaystyle\int\limits_{1}^{2}\displaystyle\frac{1}{x}\, dx,\quad n=10;$ \\
 
$\quad 2)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\, dx,\quad n=10;$ \\ 

$\quad 3)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1,2}\ln(1+x^2)\, dx,\quad n=6;$ \\ 

$\quad 4)\ \displaystyle\int\limits_{1}^{3}\displaystyle\frac{1}{1+x}\, dx,\quad n=4;$ \\ 

$\quad 5)\ \displaystyle\int\limits_{1}^{9}\sqrt{6x-5}\, dx,\quad n=8;$ \\ 

$\quad 6)\ \displaystyle\int\limits_{4}^{5,2}\ln x\, dx,\quad n=6;$ \\ 

$\quad 7)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}e^{-x^2}\, dx,\quad n=10;$ \\ 

$\quad 8)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{\sin x}{x}\, dx,\quad n=10;$ \\ 

$\quad 9)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{x}{1+x}\, dx,\quad n=10;$ \\ 

$\quad 10)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}e^{x^2}\, dx,\quad n=10;$ \\ 

$\quad 11)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\sin x^2\, dx,\quad n=10;$ \\ 

$\quad 12)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\cos x^2\,dx,\quad n=10;$ \\ 

$\quad 13)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{2}\sin^2x}\,dx,\quad n=6;$ \\ 



2. Trapéz- és Simpson- formulával közelítsük az alábbi integrálokat az adott pontossággal úgy, hogy n értékét a hibatagból számítsuk ki.

$\quad 1)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{1+x}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-4}$; \\ 

$\quad 2)\ \displaystyle\int\limits_{1}^{9}\sqrt{x}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-2}$; \\ 

$\quad 3)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}e^{-x^2}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-4}$; \\ 

$\quad 4)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\sin x^2\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-3}$; \\ 

$\quad 5)\ \displaystyle\int\limits_{1}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\sqrt{1+\sin^2x}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-2}$; \\ 

$\quad 6)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{1+x^3}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-4}$; \\ 

$\quad 7)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}e^{x^2}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-2}$; \\ 

$\quad 8)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\sin x}{x}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-4}$; \\ 

$\quad 9)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\cos x^2\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-3}$; \\ 

$\quad 10)\ \displaystyle\int\limits_{1}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\sqrt{1+\cos^2x}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-2}$; \\ 

$\quad 11)\ \displaystyle\int\limits_{1}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{4}\sin^2x}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-4}$; \\ 

$\quad 12)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1,2}\ln(1+x^2)\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-2}$; \\ 

$\quad 13)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{9}\sqrt{6x-5}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-2}$; \\ 

$\quad 14)\ \displaystyle\int\limits_{4}^{5.2}\ln x\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-2}$; \\ 

$\quad 15)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{12}\displaystyle\frac{x}{1+x}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-3}$. \\ 







 

3. A Gauss-kvadratúrák alkalmazásával számítsuk ki a következő integrálokat.

$\quad 1)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{\sin x}{x}\, dx,\quad n=6;$ \\

$\quad 2)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}e^{-x^2}\, dx,\quad n=6;$ \\

$\quad 3)\ \displaystyle\int\limits_{-1}^{1}\displaystyle\frac{e^{x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\, dx,\quad n=5;$ \\

$\quad 4)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\, dx,\quad n=5;$ \\

$\quad 5)\ \displaystyle\int\limits_{-1}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}(1+x^2)}\, dx,\quad n=5;$ \\

$\quad 6)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\, dx,\quad n=4;$ \\

$\quad 7)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{\lg(1+x)}{1+x^2}\, dx,\quad n=5;$ \\

$\quad 8)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\sin x^2\, dx,\quad n=6;$ \\

$\quad 9)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{xe^{-x}}{2+x}\, dx,\quad n=6;$ \\

$\quad 10)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{-x}}{1+\sqrt{x}}\, dx,\quad n=6.$ \\


 

====== 5. Lineáris algebra numerikus módszerei ======

===== 5.1. Determinánsok =====

1. Határozzuk meg a következő mátrixok determinánsát!

$\quad a)\ $

$$\begin{pmatrix}
0 & 2,\!1 & 3,\!2 & 1,\!2 & 0\\
0,\!8 & 0 & 2,\!9 & 0 & 1,\!4\\
1,\!4 & 2,\!5 & 0 & 3,\!2 & 2,\!8\\
1,\!6 & 0 & 1,\!3 & 0 & 1,\!1\\
0 & 1,\!8 & 3,\!8 & 2,\!2 & 0\\
\end{pmatrix}$$ \\

 
$\quad b)\ $

$$\begin{pmatrix}
2 & 4 & 8 & 16 \\
0,\!4 & 0,\!16 & 0,\!064 & 0,\!0256 \\
3 & 9 & -27 & 81 \\
0,\!5 & 0,\!25 & 0,\!125 & 0,\!0625 \\
-0,\!6 & 0,\!36 & -0,\!216 & 0,\!1296 \\
\end{pmatrix}$$\\

 

===== 5.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldása =====

==== 5.2.1 Gauss-módszer ====

1. Oldjuk meg az $Ax=b$ lineáris egyenletrendszert

$\quad a)\ $ Gauss-módszerrel,

$\quad b)\ $ Gauss-módszerrel teljes főelem-kiválasztással

$\qquad\ $ha:

$$A=\begin{pmatrix}
2 & 5 & 1 & 6 \\
5 & 4 & 2 & 1 \\
2 & 5 & 6 & 5 \\
-2 & 5 & 6 & 5 \\ 
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
3 \\ -3 \\ 1 \\ 1 \\
\end{pmatrix}\!\!.$$

 

2. Oldjuk meg az $Ax=b$ lineáris egyenletrendszert

$\quad a)\ $ Gauss-módszerrel,

$\quad b)\ $ Gauss-módszerrel teljes főelem-kiválasztással

$\qquad\ $ha:

$$A=\begin{pmatrix}
0,\!00001 & 2 & 3 \\
10 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
5,\!00001 \\ 17 \\ 6 \\
\end{pmatrix}\!\!.$$

 

3. Oldjuk meg az $Ax=b$ lineáris egyenletrendszert

$\quad a)\ $ Gauss-módszerrel,

$\quad b)\ $ Gauss-módszerrel teljes főelem-kiválasztással,

$\qquad\ $ha:

$$A=\begin{pmatrix}
0,\!0001 & 2 & 3 \\
10 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
5,\!0001 \\ 17 \\ 6 \\ 
\end{pmatrix}\!\!.$$

 

4. Oldjuk meg az $Ax=b$ lineáris egyenletrendszert

$\quad a)\ $ Gauss-módszerrel,

$\quad b)\ $ Gauss-módszerrel teljes főelem-kiválasztással.

$\qquad\ $ha

$$A=\begin{pmatrix}
0,\!001 & 2 & 3 \\
10 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
5,\!001 \\ 17 \\ 6 \\ 
\end{pmatrix}\!\!.$$

 

5.2.5. Oldjuk meg az $Ax=b$ lineáris egyenletrendszert, ha

$\quad a)\ $ 

$$A=\begin{pmatrix}
\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{3} & \displaystyle\frac{1}{4} \\[5pt]
\displaystyle\frac{1}{3} & \displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{1}{5} \\[5pt]
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{1}{5} & \displaystyle\frac{1}{6} \\[5pt]
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
0,\!95 \\ 0,\!67 \\ 0,\!52 \\
\end{pmatrix}\!\!.$$

$\quad b)\ $ legyen az $A$ mátrix az előbbi, de

$$b=\begin{pmatrix}
0,\!96 \\ 0,\!66 \\ 0,\!53 \\
\end{pmatrix}\!\!.$$

 

==== 5.2.2. Négyzetgyökök módszere ====

1. Oldjuk meg az $Ax=b$ lineáris egyenletrendszert a négyzetgyökök módszerével.

$\quad a)\ $

$$A=\begin{pmatrix}
3,\!1 & 1,\!5 & 1,\!0 \\
1,\!5 & 2,\!5 & 0,\!5 \\
1,\!0 & 0,\!5 & 4,\!2 \\
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
10,\!83 \\ 9,\!20 \\ 17,\!10 \\
\end{pmatrix}\!\!.$$

$\quad b)\ $

$$A=\begin{pmatrix}
3,\!2 & 1,\!0 & 1,\!0 \\
1,\!0 & 3,\!7 & 1,\!0 \\
1,\!0 & 1,\!0 & 4,\!2 \\
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
4,\!0 \\ 4,\!5 \\ 4,\!0 \\
\end{pmatrix}\!\!.$$

$\quad c)\ $

$$A=\begin{pmatrix}
5,\!5 & 7,\!0 & 6,\!0 & 5,\!5 \\
7,\!0 & 10,\!5 & 8,\!0 & 7,\!0 \\
6,\!0 & 8,\!0 & 10,\!5 & 9,\!0 \\
5,\!5 & 7,\!0 & 9,\!0 & 10,\!5 \\
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
23 \\ 32 \\ 33 \\ 31 \\
\end{pmatrix}\!\!.$$

 

==== 5.2.3. Iterációs módszerek ====

1. Iterációs módszerrel oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.

$$\begin{aligned}
x - 0,\!25\,y\hphantom{+0,\!25z} &=0,\!5, \\[5pt]

0,\!25\,x - y + 0,\!25\,z &= -1,\!5, \\[5pt]

-0,\!25\,x\hphantom{+0,\!25y} +z &= 0,\!75. \\[5pt]
\end{aligned}$$
 

2. Gauss-Jacobi iterációval oldjuk meg a következő egyenletrendszereket:

$\quad a)\ $ 
$$\begin{aligned}

4\,x - y\hphantom{-5z - u}&=0,\!4, \\[5pt]

-x +4\,y - 5z\hphantom{ - u}   &=0,\!8, \\[5pt]

\hphantom{-x}–y+z - u   &=1,\!2, \\[5pt]

\hphantom{-x +4y}–z + 2\,u &=0,\!6.\\[5pt]

\end{aligned}$$


$\quad b)\ $


$$\begin{aligned}         
9,\!37\, x +  3,\!04\, y  - 2,\!44\, z  &=9,\!23, \\[5pt]

3,\!04\, x + 6,\!184\, y + 1,\!225\, z  &=8,\!20, \\[5pt]

-2,\!44\, x + 1,\!22\, y   + 8,\!44\, z &=3,\!93. \\[5pt]
\end{aligned}$$

 

3.  Iterációs módszerrel oldjuk meg az alábbi egyenletrendszerek az adott pontossággal:

$\quad a)\ $

$$A=\begin{pmatrix}
4,\!00 & 0,\!24 & -0,\!08 & 0,\!16\\
0,\!09 & 3,\!00 & -0,\!15 & -0,\!12\\
0,\!04 & -0,\!08 & 4,\!00 & 0,\!06\\
0,\!02 & 0,\!06 & 0,\!04 & -10,\!00\\
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
8\\9\\20\\1
\end{pmatrix}\!\!;\quad
\varepsilon=0,\!5 \cdot 10^{-3}.$$

$\quad b)\ $

$$A=\begin{pmatrix}
8,\!714 & 2,\!180 & 5,\!684\\
-1,\!351 & 10,\!724 & 5,\!224\\
2,\!489 & -0,\!459 & 6,\!799\\
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
49,\!91\\50,\!17\\32,\!68  \\
\end{pmatrix}\!\!;\quad
\varepsilon=0,\!5 \cdot 10^{-4}.$$

 

4. Oldjuk meg Gauss-Seidel iterációval a következő egyenletrendszereket 0.0001-nél kisebb hibával:

$\quad a)\ $

$$A=\begin{pmatrix}
100 & -2,\!9 & -3,\!8 & -76\\
-0,\!09 & 10 & 0,\!74 & 0,\!63\\
-0,\!081 & 0,\!024 & 1 & -0,\!09\\
-6,\!5 & -7,\!3 & 5,\!8 & 100\\ 
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
65,\!1\\7,\!42\\0,\!903\\80,\!5
\end{pmatrix}\!\!.$$

$\quad b)\ $

$$A=\begin{pmatrix}
1 & -0,\!13 & 0,\!01 & 0,\!04\\
-0,\!11 & 0,\!05 & 0,\!04 & 0\\
-0,\!09 & 0,\!08 & 1 & 0,\!02\\
-0,\!12 & 1 & 0,\!03 & 0,\!03\\
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\1\\
\end{pmatrix}\!\!.$$

$\quad c)\ $

$$A=\begin{pmatrix}
6 & -1 & -1 \\
-1 & 6 & -1 \\
-1 & -1 & 6 \\ 
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
11,\!33\\32\\42
\end{pmatrix}\!\!.$$

 

==== 5.2.4. Gradiens módszer ====

1. Oldjuk meg gradiens módszerrel a következő egyenletrendszereket:

$\quad a)\ $

$$A=\begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 4\\
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
7\\10
\end{pmatrix}\!\!;
\quad
x=\begin{pmatrix}
x_0\\y_0
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0\\0
\end{pmatrix}\!\!.$$

 

$\quad b)\ $

$$A=\begin{pmatrix}
4 & -1 & 0\\
-1 & 4 & -1\\
0 & -1 & 4\\
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
2\\6\\2
\end{pmatrix}\!\!;
\quad
x=\begin{pmatrix}
x_0\\y_0\\z_0
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0\\0\\0
\end{pmatrix}\!\!.$$

 

$\quad c)\ $

$$A=\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 & 1 \\
2 & 1 & -2 & -1 \\
3 & -2 & 1 & 5 \\
1 & -1 & 5 & 3 \\ 
\end{pmatrix}\!\!,
\quad
b=\begin{pmatrix}
3\\-4\\7\\8
\end{pmatrix}\!\!;
\quad
x=\begin{pmatrix}
x_0\\y_0\\z_0\\u_0
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\0
\end{pmatrix}\!\!.$$


 

====== 6. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása ======

===== 6.1. Fokozatos közelítések módszere =====

1. Fokozatos közelítések módszerével (fixpont iterációs eljárással) oldjuk meg a következő egyenletrendszereket. A kezdőpontot grafikus módszerrel lehet megállapítani.

$\quad a)\ \begin{cases}
\sin(x + y) - y &= 1, \\[5pt]
\qquad 2x + \cos y &=1.\\[5pt]
\end{cases}$

$\quad b)\ \begin{cases}
\displaystyle\frac{\cos(x-y)}{3}-2y &= 0,\\[5pt]
\displaystyle\frac{\sin(x + y)}{3} - 2x &=0.\\[5pt]
\end{cases}$

$\quad c)\ \begin{cases}     
2x^2 - xy -5x +1 &=0,\\[5pt]
\qquad x +3\lg x -y^2 &=0,\\[5pt]
\end{cases}\\[5pt]
\qquad\quad x,\, y >0.$

$\quad d)\ \begin{cases}      
2x^2 - xy -y^2 +2x- 2y +6 &=0,\\[5pt]
\hphantom{2x^2 - xy -y^2+2x} y - x - 1 &=0.\\[5pt]
\end{cases}$

$\quad e)\ \begin{cases}  
x^2 y^2 -3x^3 -6y^3 +8 &=0,\\[5pt]
\hphantom{x^2 y^2 -3x}x^4 -9y + 2 &= 0.\\[5pt]
\end{cases}$

$\quad f)\ \begin{cases} 
2x^2 -xy -y^2 +2x -2y + 6 &=0,\\[5pt]
\hphantom{2x^2 -xy -y^2 +2x}y - x - 1 &=0,\\[5pt]
\end{cases}\\[5pt]
\qquad\quad 0 \leqslant x \leqslant 0.5;\quad 0 \leqslant y\leqslant x,\\[5pt]
\qquad\quad(x^*; y^*) = (1,\!0000; 2,\!0000)$

$\quad g)\ \begin{cases} 
x = \lg\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right) + 1,\\[5pt]
y = 0,\!4 + z^2 - 2x^2,\\[5pt]
z = 2 + \displaystyle\frac{xy}{20},\\[5pt]
\end{cases}\\[5pt]
\qquad\quad(x_0; y_0; z_0) =(1; 2.2; 2)$
 

===== 6.2.  Newton-Kantorovics módszer =====

1.  Newton-Kantorovics (Newton) módszerrel oldjuk meg a következő egyenletrendszereket. A kezdőpontot grafikus módszerrel lehet megállapítani.

$\quad a)\ \begin{cases}        
x^2 -y &= 3,\!64,\\[5pt]
(x +y)^2 &= 2,\!84.\\[5pt]
\end{cases}$

$\quad b)\ \begin{cases}        
\qquad x^3 -z &= 1,\\[5pt]
x +y^2 - z  &= 2,\\[5pt]
2x-y +z^2 &= 3.\\[5pt]
\end{cases}$

$\quad c)\ \begin{cases}         
e^x +2y &= 9,\!368,\\[5pt]
e^{2x} - y^2  &= -20,\!115.
\end{cases}$

$\quad d)\ \begin{cases}        
2\,x^2 -xy -5\,x +1 &= 0,\\[5pt]
\qquad x + 3 \lg x - y^2 &= 0.
\end{cases}$

$\quad e)\ \begin{cases}         
\sin(x - y) - xy &=1,\\[5pt]
\qquad\qquad x^2 -y^2 &= 0,\!75.
\end{cases}$

$\quad f)\ \begin{cases}         
\cos(0,\!4\,y +x^2) +x^2 +y^2 -1,\!6 &= 0,\\[5pt]
\qquad\qquad \qquad 1,\!5x^2 -\displaystyle\frac{y^2}{0,\!36} -1 &= 0.\\[5pt]
\end{cases}\\[5pt]
\qquad\quad(x =1,\!03864; y = 0,\!47173)$

$\quad g)\ \begin{cases}       
\operatorname{tg}(xy +k)  &= x^2,\\[5pt]
ax^2 +2y^2 &= 1. \\[5pt] 
\end{cases}\\[5pt]
\qquad\quad x >0,\quad y>0,\\[5pt]
\qquad\quad a =0,\!5 +0,\!1\,m,\quad k =0,\!1m,\\[5pt]
\qquad\quad m = 0, 1, 2, 3, 4.\\[5pt]$

$\quad h)\ \begin{cases}        
\qquad\qquad e^2xy &=x^2 -y +a,\\[5pt]
(x + 0,\!5)^2 +y^2  &= k.\\[5pt]
\end{cases}\\[5pt]
\qquad\quad x >0,\quad y>0,\\[5pt]
\qquad\quad a =1 +0,\!1m,\quad k =0,\!6 + 0,\!1m,\\[5pt]
\qquad\quad m = 0, 1, 2, 3, 4.\\[5pt]$
 

===== 6.3. Gradiens-módszer =====

1. Gradiens-módszerrel oldjuk meg a következő egyenletrendszereket.

$\quad a)\ \begin{cases}        
\sin(x + y) - 1,\!3x &= 0,\!1, \\[5pt]
\qquad\qquad x^2 +y^2 &= 1.
\end{cases}$

$\quad b)\ \begin{cases}       
x +x^2 -2yz &= 0,\!1, \\[5pt]
y -y^2 +3xz &= -0,\!2, \\[5pt]
z +z^2 +2xy &= 0,\!3.
\end{cases}$

A kezdőpont:   $(x_0; y_0; z_0) = (0; 0; 0)$.

====== 7. Legkisebb négyzetek módszere ====== 

1. Számítsuk ki az

$\quad x = -1;\, -0,\!5;\, 0;\, 0,\!5;\, 1$

pontokban az

$\quad f(x) =e^x +x$

függvény négyzetesen legjobban közelítő parabola együtthatóit.

2. Adottak a következő táblázatok:

$\quad a)\ $

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 
x &0,\!78 &1,\!56 &2,\!34 &3,\!12 &3,\!81 \\ \hline
f(x) &2,\!5 &1,\!2 &1,\!12 &2,\!25 &4,\!28 \\ \hline 
\end{array}\end{equation}$ \\

$\quad b)\ $

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 
x &0 &10 &11 &16 &21 &27 &32 &37 &43 &48 \\ \hline
f(x) &8,\!4 &6,\!2 &5,\!6 &5,\!1 &4,\!2 &3,\!4 &3,\!1 &2,\!5 &2,\!1 &1,\!9 \\ \hline
\end{array}\end{equation}$ \\

$\quad c)\ $

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 
x &0,\!2 &0,\!4 &0,\!6 &0,\!8 &1 &2 &4 &6 &8 &10 \\ \hline
f(x) &9,\!9 &5,\!1 &3,\!2 &2,\!6 &1,\!9 &1,\!1 &0,\!4 &0,\!43 &0,\!15 &0,\!3 \\ \hline
\end{array}\end{equation}$ \\



A következő függvények közül:
$$\begin{matrix}

ax +b, & be^{ax}, &  bx^a, & ba^x, \\[5pt]
a + \displaystyle\frac{b}{x}, & \displaystyle\frac{1}{ax + b}, &      \displaystyle\frac{x}{ax + b} \\[5pt]
\end{matrix}$$

válasszuk azt, amely a táblázattal megadott értékeket négyzetesen legjobban közelíti.

 

3. Egy radioaktív anyag bomlását a

$$y(t) = y(0) e^{-ct}  $$

egyenlet írja le, ahol $y(t)$ a $t$ időpillanatbeli anyagmennyiség, $c>0$. A $T$ felezési időre az

$$y(T) = \frac{y(0)}{2}$$

reláció áll fenn. Az anyagra adott a következő táblázat:


$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 
t_k &1,\!5 &4,\!0 &6,\!5 &9,\!0 &11,\!6 \\ \hline
y_k &25,\!9 &22,\!7 &20,\!3 &17,\!7 &15,\!6 \\ \hline

\end{array}\end{equation}$ \\

számítsuk ki a $T$ felezési időt.