Felhasználói eszközök

Eszközök a webhelyen


num-mat:felad

Feladatok

1. Interpoláció
1.1 Lagrange-féle és Newton-féle interpoláció
1.2 Inverz interpoláció
2. Nemlineáris egyenletek megoldása
2.1 Fixpont iterációs módszer
2.2 Intervallumfelezés és húrmódszer
2.3 Newton-Rapson módszer (és húr-módszer)
2.4 Algebrai egyenletek megoldása
3. Numerikus differenciálás
4. Numerikus integrálás
5 Lineáris algebra numerikus módszerei
5.1 Determinánsok
5.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldása
5.2.1 Gauss-módszer
5.2.2 Négyzetgyökök módszere
5.2.3 Iterációs módszerek
5.2.4 Gradiens módszer
6. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása
6.1 Fokozatos közelítések módszere
6.2 Newton-Kantorovics módszer
6.3 Gradiens-módszer
7. Legkisebb négyzetek módszere

1. Interpoláció

1.1. Lagrange-féle és Newton-féle interpoláció

1. Illesszük minimális fokszámú polinomot az alábbi pontokra!

$\quad a)\ (-1; 6), (0; 3), (1; 2)$

$\quad b)\ (1; 1), (4; 19), (5; 29)$

$\quad c)\ (0; 0,\!5), (0,\!1; -0,\!48), (0,\!5; 0)$

$\quad d)\ (-1; 1,\!5), (0,\!3; 1,\!89), (0; 0,\!5), (0,\!25; 1,\!8125)$

$\quad e)\ (-1; 1), (0; -1), (0,\!5; -0,\!5), (1; -1), (2; 1)$

2. Számítsuk ki a megadott alappontok felhasználásával az alábbi függvények közelítését!

$\quad a)\ f(x) = x^{\displaystyle\frac{1}{4}} +x - 2$,
$\qquad\ x_0 = 0,\quad x_1 = 1, \quad x_2 = 16, \quad x_3 = 81$
$\qquad\ f(0,\!5) = ?\quad f(25) = ? \quad f(80) = ?$

$\quad b)\ f(x) = e^x$,
$\qquad\ x_0 = 0,\quad x_1 = 0,\!5, \quad\ x_2 = 1$
$\qquad\ f(-1) = ? \quad f(0,\!7) = ?\quad f(3) = ?$

$\quad c)\ f(x) = \sin x$,
$\qquad\ x_0 = 0, \quad x_1 = \displaystyle\frac{\pi}{6},\quad x_2 = \displaystyle\frac{\pi}{3},\quad x_3 = \displaystyle\frac{π}{2},$
$\qquad\ f\left(\displaystyle\frac{\pi}{18}\right) = ?\quad f\left(\displaystyle\frac{7\pi}{36}\right) = ?\quad f\left(\displaystyle\frac{8\pi}{18}\right) = ?$

$\quad d)\ f(x) = \ln x$,
$\qquad\ x_k = 0,\!3 +kh, \quad h=0,\!1, \quad k =0, 1, …, 8$
$\qquad\ f(0,\!65) = ?\quad f(0,\!0001) = ? \quad f(0,\!2) = ?$

3. Becsüljük meg az interpoláció maximális hibáját!

$\quad a)\ f(x) = e^x$,
$\qquad\ x_0 = 0, \quad x_1 = 0,\!5, \quad x_2 = 1$

$\quad b)\ f(x) = \ln(1 +x),\quad x> -1,$
$\qquad\ x_0 = -0,\!5,\quad x_1 = 0, \quad x_2 = 0,\!5$

$\quad c)\ f(x) = x+ \sin x$,
$\qquad\ x_0 = 0, \quad x_1 = \displaystyle\frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \displaystyle\frac{\pi}{2}$

$\quad d)\ f(x) = x^{\displaystyle\frac{1}{2}}$,
$\qquad\ x_0 = 2,\quad x_1 = 4, \quad x_2 =9$

4. Mekkora lesz a hibabecslés, ha az adott függvényeket az adott intervallumokon lineárisan interpoláljuk?

$\quad a)\ f(x) = x^{\displaystyle\frac{1}{2}},\quad x \geqslant 0$,
$\qquad\ a_1)\ [0; 1]$,
$\qquad\ a_2)\ [4; 9]$,
$\qquad\ a_3)\ [40; 50]$.

$\quad b)\ f(x) = e^x$,
$\qquad\ b_1)\ [-10; -1]$,
$\qquad\ b_2)\ [-1; 1]$,
$\qquad\ b_3)\ [1; 10]$.

$\quad c)\ f(x) = x^3-x,\quad -1 \leqslant x \leqslant 1$
$\qquad\ c_1)\ [0; 0,\!5]$,
$\qquad\ c_2)\ [0,\!5; 1]$.

5. Milyen sűrűn kell megadni az alábbi függvényértékeket, hogy a két szomszédos pont között lineárisan interpolálva a hibabecslés kisebb legyen, mint $0,\!5\cdot 10^{-6}$?

$\quad a)\ \cos x,\quad 0 \leqslant x \leqslant \pi$,

$\quad b)\ e^x,\quad -2 \leqslant x \leqslant 3$,

$\quad c)\ x^{\displaystyle\frac{1}{2}},\quad 0,\!01 \leqslant x \leqslant 4$,

$\quad d)\ x\cos x,\quad\ -\displaystyle\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \displaystyle\frac{\pi}{2}$,

$\quad e)\ x^3 - x,\quad\ 0 \leqslant x \leqslant \pi$.

6. Adott a következő táblázat:

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&2,\!0&2,\!3&2,\!5&3,\!0&3,\!5&3,\!8&4,\!0 \\ \hline f(x)&5,\!848&6,\!127&6,\!300&6,\!694&7,\!47&7,\!243&7,\!368 \\ \hline \end{array}\end{equation}$

$\quad$ Határozzuk meg a függvényértékek közelítését a következő pontokban:
$\qquad\ a)\ 2,\!22$,
$\qquad\ b)\ 2,\!41$,
$\qquad\ c)\ 2,\!78$,
$\qquad\ d)\ 3,\!34$,
$\qquad\ e)\ 3,\!75$,
$\qquad\ f)\ 3,\!88$.

1.2. Inverz interpoláció

1. Tekintsük a következő táblázatot!

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 1,\!00 & 1,\!00 & 1,\!05 & 1,\!10 & 1,\!15 & 1,\!2 & 1,\!25 \\ \hline f(x) & 2,\!00000 & 2,\!00000 & 2,\!00238 & 2,\!00909 & 2,\!01957 & 2,\!03313 & 2,\!05000 \\ \hline \end{array}\end{equation}$

$\quad$ Határozzuk meg annak az $x$-nek a közelítő értékét, melyre a függvény értéke a következő:
$\qquad a)\ 2,\!00139 $
$\qquad b)\ 2,\!00194 $
$\qquad c)\ 2,\!00373 $

2. Inverz interpoláció alkalmazásával határozzuk meg a következő függvények gyökét $ε$ pontossággal az $[a, b]$ intervallumban!

$\quad a)\ y =x^2 +\ln x,\quad ε =10^{-4},\quad a = 1,\!5,\quad b = 1; $

$\quad b)\ y =x^2 +\ln x - 4,\quad ε =10^{-4},\quad a = 1,\!5,\quad b = 2; $

$\quad c)\ y =x^2 +\sin x,\quad ε =10^{-4},\quad a = 0,\!5,\quad b = 1; $

$\quad d)\ y =2x^{\displaystyle\frac{1}{2}} -\cos\left(\displaystyle\frac{\pi x}{2}\right),\quad ε =10^{-5},\quad a = 0,\!2,\quad b = 0,\!3; $

3. Keressük meg inverz interpolációval az $f$ függvény $0,\!3$ és $0,\!4$ között levő gyökének közelítő értékét a következő táblázat alapján:
$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0,\!1 & 0,\!2 & 0,\!3 & 0,\!4 & 0,\!5 \\ \hline f(x) & 0,\!70010 & 0,\!40160 & 0,\!10810 & -0,\!17440 & -0,\!43750 \\ \hline \end{array}\end{equation}$

2. Nemlineáris egyenletek megoldása

2.1. Fixpont iterációs módszer

Közelítsük az egyenletek megoldásait az adott szakaszokon különböző kezdőértékekkel, és vizsgáljuk meg a módszerek konvergenciáját:

$\quad a)\ \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\ln(x + 1) =0$,
$\qquad\ x_{n+1} = x_n + \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\ln(x_n + 1),\quad [-0,\!5; 0,\!5].$

$\quad b)\ x - 2\sin x = 0, $
$\qquad\ x_{n+1} = 2\sin x_n,\quad [-\pi; -0,\!1], [0,\!1; \pi] $

$\quad c)\ x^{\displaystyle\frac{1}{2} } + 3x - 1 = 0, $
$\qquad\ x_{n+1} = x_n^{\displaystyle\frac{1}{2}} + 4x_n - 1, $

$\quad d)\ x^3 - x = 0$,
$\qquad\ x_{n+1} = x_n^3, $

$\quad e)\ x^3 + \ln x = 5$,
$\qquad\ x_{n+1} = (5 - \ln x_n )^{\displaystyle\frac{1}{3}},\quad [1; 2] $

$\quad f)\ 3^x -2x - 1 =0, $
$\qquad\ x_{n+1} = \displaystyle\frac{3^x - 1}{2} $

$\quad g)\ \sin x =5x, $
$\qquad\ x_{n+1} = \displaystyle\frac{\sin x_n}{5} $

2.2. Intervallumfelezés és húrmódszer

$\quad a)\ x^{\displaystyle\frac{1}{2} } =4x - 2,\quad [0; 1], [0,\!5; 1] $

$\quad b)\ x^{\displaystyle\frac{1}{2} } + 3x - 1 =0,\quad [0; 1], $

$\quad c)\ x^3 + \ln x - 5 =0,\quad [0; 2], $

$\quad d)\ \ln x - \displaystyle\frac{1}{(x +1)^2} =0,\quad [1; 3], $

$\quad e)\ xe^x =\cos x,\quad [0; 1], $

$\quad f)\ \operatorname{tg} x - \cos x + \displaystyle\frac{1}{2} =0,\quad \left[0, \displaystyle\frac{\pi}{3}\right], $

$\quad g)\ e^x \cos x - \displaystyle\frac{x}{2} = 0, \quad \left[0, \displaystyle\frac{\pi}{2}\right]. $

2.3. Newton-Rapson módszer (Húr módszer)

$\quad a)\ x^{\displaystyle\frac{1}{2}} + 3x -1 = 0,\quad x_0 =0; 1. $

$\quad b)\ \displaystyle\frac{1}{2} \ln(x + 1) = 0,\quad x_0 =-0,\!4; 0,\!5. $

$\quad c)\ x - 2\sin x = 0,\quad x_0 = 0,\!1; \pi. $

$\quad d)\ x = -e^x,\quad x_0 =2; 0. $

$\quad e)\ xe^x = \cos x, \quad x_0 =0; 1. $

$\quad f)\ (x - 1)e^{10x} + x^{-10} =0,\quad x_0 =0,\!5; 1. $

2.4. Algebrai egyenletek megoldása

1. Adjunk felső korlátot az alábbi egyenletek gyökeinek abszolút értékére!

$\quad a)\ x^3 - x^2 - 8\,x + 12 =0 $

$\quad b)\ 3\,x^4 + x^3 - x^2 +x - 2 =0 $

$\quad c)\ x^5 + x^4 - 21,\!14\,x^3 +2\,x - 45,\!2 =0 $

$\quad d)\ x^4 - 3,\!2\,x^3 +1,\!643\,x^2 + 4,\!8\,x - 1 =0 $

2. Alkalmazzuk a Horner-algoritmust az alábbi feladatokra.

$\quad a)\ P_4(x) =x^4 - 2x^3 -x - 1;\quad P_4(2,\!4) =? $

$\quad b)\ P_3(x) =x^3 - x^2 -8x + 12;\quad P_3(1,\!999) =?\quad P_3(2,\!001) =? $

3. Adjunk becsléseket az alábbi polinomok gyökeire, és határozzuk meg az összes gyököt.

$\quad a)\ 5\,x^3 + 2\,x^2 - 15\,x - 6 =0 $

$\quad b)\ x^3 + x^2- 10\,x + 8 =0 $

$\quad c)\ x^3 - 3\,x^2- 3 =0 $

$\quad d)\ x^3 - x - 1 =0 $

$\quad e)\ 1,\!23\,x^5 - 2,\!52\,x^4 - 1,\!61\,x^3 + 29,\!4\,x -1,\!34 =0 $

3. Numerikus differenciálás

1. Adott a következő táblázat:

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X&0,\!96 &0,\!98&1,\!00&1,\!02&1,\!04\\ \hline f(x)&0,\!7825361&0,\!7739332&0,\!7651977&0,\!7563321&0,\!7473390 \\ \hline \end{array}\end{equation}$

$\quad$ Határozzuk meg a függvény első és második deriváltjának közelítését az $x=1$ pontban!

2. Adott a következő táblázat:

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X &0,\!00 &0,\!05 &0,\!1 &0,\!15 &0,\!20 &0,\!25 \\ \hline F(x) &0,\!00000 &0,\!10017 &0,\!20134 &0,\!30452 &0,\!41075 &0,\!52110 \\ \hline \end{array}\end{equation}$

$\quad$ Határozzuk meg a függvény első és második deriváltjának közelítését az $x=0$ és az $x=0,\!1$ pontokban.

4. Numerikus integrálás

1. Közelítsük az alábbi integrálokat összetett trapéz- és Simpson- formulával és becsüljük meg a közelítés hibáját.

$\quad 1)\ \displaystyle\int\limits_{1}^{2}\displaystyle\frac{1}{x}\, dx,\quad n=10;$

$\quad 2)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\, dx,\quad n=10;$

$\quad 3)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1,2}\ln(1+x^2)\, dx,\quad n=6;$

$\quad 4)\ \displaystyle\int\limits_{1}^{3}\displaystyle\frac{1}{1+x}\, dx,\quad n=4;$

$\quad 5)\ \displaystyle\int\limits_{1}^{9}\sqrt{6x-5}\, dx,\quad n=8;$

$\quad 6)\ \displaystyle\int\limits_{4}^{5,2}\ln x\, dx,\quad n=6;$

$\quad 7)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}e^{-x^2}\, dx,\quad n=10;$

$\quad 8)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{\sin x}{x}\, dx,\quad n=10;$

$\quad 9)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{x}{1+x}\, dx,\quad n=10;$

$\quad 10)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}e^{x^2}\, dx,\quad n=10;$

$\quad 11)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\sin x^2\, dx,\quad n=10;$

$\quad 12)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\cos x^2\,dx,\quad n=10;$

$\quad 13)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{2}\sin^2x}\,dx,\quad n=6;$

2. Trapéz- és Simpson- formulával közelítsük az alábbi integrálokat az adott pontossággal úgy, hogy n értékét a hibatagból számítsuk ki.

$\quad 1)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{1+x}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-4}$;

$\quad 2)\ \displaystyle\int\limits_{1}^{9}\sqrt{x}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-2}$;

$\quad 3)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}e^{-x^2}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-4}$;

$\quad 4)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\sin x^2\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-3}$;

$\quad 5)\ \displaystyle\int\limits_{1}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\sqrt{1+\sin^2x}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-2}$;

$\quad 6)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{1+x^3}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-4}$;

$\quad 7)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}e^{x^2}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-2}$;

$\quad 8)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\sin x}{x}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-4}$;

$\quad 9)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\cos x^2\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-3}$;

$\quad 10)\ \displaystyle\int\limits_{1}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\sqrt{1+\cos^2x}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-2}$;

$\quad 11)\ \displaystyle\int\limits_{1}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{4}\sin^2x}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-4}$;

$\quad 12)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1,2}\ln(1+x^2)\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-2}$;

$\quad 13)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{9}\sqrt{6x-5}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-2}$;

$\quad 14)\ \displaystyle\int\limits_{4}^{5.2}\ln x\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-2}$;

$\quad 15)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{12}\displaystyle\frac{x}{1+x}\,dx,\quad \varepsilon=0,\!5\cdot 10^{-3}$.

3. A Gauss-kvadratúrák alkalmazásával számítsuk ki a következő integrálokat.

$\quad 1)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{\sin x}{x}\, dx,\quad n=6;$

$\quad 2)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}e^{-x^2}\, dx,\quad n=6;$

$\quad 3)\ \displaystyle\int\limits_{-1}^{1}\displaystyle\frac{e^{x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\, dx,\quad n=5;$

$\quad 4)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\, dx,\quad n=5;$

$\quad 5)\ \displaystyle\int\limits_{-1}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}(1+x^2)}\, dx,\quad n=5;$

$\quad 6)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\, dx,\quad n=4;$

$\quad 7)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{\lg(1+x)}{1+x^2}\, dx,\quad n=5;$

$\quad 8)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\sin x^2\, dx,\quad n=6;$

$\quad 9)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{xe^{-x}}{2+x}\, dx,\quad n=6;$

$\quad 10)\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{-x}}{1+\sqrt{x}}\, dx,\quad n=6.$

5. Lineáris algebra numerikus módszerei

5.1. Determinánsok

1. Határozzuk meg a következő mátrixok determinánsát!

$\quad a)\ $

$$\begin{pmatrix} 0 & 2,\!1 & 3,\!2 & 1,\!2 & 0\\ 0,\!8 & 0 & 2,\!9 & 0 & 1,\!4\\ 1,\!4 & 2,\!5 & 0 & 3,\!2 & 2,\!8\\ 1,\!6 & 0 & 1,\!3 & 0 & 1,\!1\\ 0 & 1,\!8 & 3,\!8 & 2,\!2 & 0\\ \end{pmatrix}$$

$\quad b)\ $

$$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 & 16 \\ 0,\!4 & 0,\!16 & 0,\!064 & 0,\!0256 \\ 3 & 9 & -27 & 81 \\ 0,\!5 & 0,\!25 & 0,\!125 & 0,\!0625 \\ -0,\!6 & 0,\!36 & -0,\!216 & 0,\!1296 \\ \end{pmatrix}$$

5.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldása

5.2.1 Gauss-módszer

1. Oldjuk meg az $Ax=b$ lineáris egyenletrendszert

$\quad a)\ $ Gauss-módszerrel,

$\quad b)\ $ Gauss-módszerrel teljes főelem-kiválasztással

$\qquad\ $ha:

$$A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 6 \\ 5 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 6 & 5 \\ -2 & 5 & 6 & 5 \\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\!\!.$$

2. Oldjuk meg az $Ax=b$ lineáris egyenletrendszert

$\quad a)\ $ Gauss-módszerrel,

$\quad b)\ $ Gauss-módszerrel teljes főelem-kiválasztással

$\qquad\ $ha:

$$A=\begin{pmatrix} 0,\!00001 & 2 & 3 \\ 10 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 5,\!00001 \\ 17 \\ 6 \\ \end{pmatrix}\!\!.$$

3. Oldjuk meg az $Ax=b$ lineáris egyenletrendszert

$\quad a)\ $ Gauss-módszerrel,

$\quad b)\ $ Gauss-módszerrel teljes főelem-kiválasztással,

$\qquad\ $ha:

$$A=\begin{pmatrix} 0,\!0001 & 2 & 3 \\ 10 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 5,\!0001 \\ 17 \\ 6 \\ \end{pmatrix}\!\!.$$

4. Oldjuk meg az $Ax=b$ lineáris egyenletrendszert

$\quad a)\ $ Gauss-módszerrel,

$\quad b)\ $ Gauss-módszerrel teljes főelem-kiválasztással.

$\qquad\ $ha

$$A=\begin{pmatrix} 0,\!001 & 2 & 3 \\ 10 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 5,\!001 \\ 17 \\ 6 \\ \end{pmatrix}\!\!.$$

5.2.5. Oldjuk meg az $Ax=b$ lineáris egyenletrendszert, ha

$\quad a)\ $

$$A=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{3} & \displaystyle\frac{1}{4} \\[5pt] \displaystyle\frac{1}{3} & \displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{1}{5} \\[5pt] \displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{1}{5} & \displaystyle\frac{1}{6} \\[5pt] \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 0,\!95 \\ 0,\!67 \\ 0,\!52 \\ \end{pmatrix}\!\!.$$

$\quad b)\ $ legyen az $A$ mátrix az előbbi, de

$$b=\begin{pmatrix} 0,\!96 \\ 0,\!66 \\ 0,\!53 \\ \end{pmatrix}\!\!.$$

5.2.2. Négyzetgyökök módszere

1. Oldjuk meg az $Ax=b$ lineáris egyenletrendszert a négyzetgyökök módszerével.

$\quad a)\ $

$$A=\begin{pmatrix} 3,\!1 & 1,\!5 & 1,\!0 \\ 1,\!5 & 2,\!5 & 0,\!5 \\ 1,\!0 & 0,\!5 & 4,\!2 \\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 10,\!83 \\ 9,\!20 \\ 17,\!10 \\ \end{pmatrix}\!\!.$$

$\quad b)\ $

$$A=\begin{pmatrix} 3,\!2 & 1,\!0 & 1,\!0 \\ 1,\!0 & 3,\!7 & 1,\!0 \\ 1,\!0 & 1,\!0 & 4,\!2 \\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 4,\!0 \\ 4,\!5 \\ 4,\!0 \\ \end{pmatrix}\!\!.$$

$\quad c)\ $

$$A=\begin{pmatrix} 5,\!5 & 7,\!0 & 6,\!0 & 5,\!5 \\ 7,\!0 & 10,\!5 & 8,\!0 & 7,\!0 \\ 6,\!0 & 8,\!0 & 10,\!5 & 9,\!0 \\ 5,\!5 & 7,\!0 & 9,\!0 & 10,\!5 \\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 23 \\ 32 \\ 33 \\ 31 \\ \end{pmatrix}\!\!.$$

5.2.3. Iterációs módszerek

1. Iterációs módszerrel oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.

$$\begin{aligned} x - 0,\!25\,y\hphantom{+0,\!25z} &=0,\!5, \\[5pt] 0,\!25\,x - y + 0,\!25\,z &= -1,\!5, \\[5pt] -0,\!25\,x\hphantom{+0,\!25y} +z &= 0,\!75. \\[5pt] \end{aligned}$$

2. Gauss-Jacobi iterációval oldjuk meg a következő egyenletrendszereket:

$\quad a)\ $ $$\begin{aligned} 4\,x - y\hphantom{-5z - u}&=0,\!4, \\[5pt] -x +4\,y - 5z\hphantom{ - u} &=0,\!8, \\[5pt] \hphantom{-x}–y+z - u &=1,\!2, \\[5pt] \hphantom{-x +4y}–z + 2\,u &=0,\!6.\\[5pt] \end{aligned}$$

$\quad b)\ $

$$\begin{aligned} 9,\!37\, x + 3,\!04\, y - 2,\!44\, z &=9,\!23, \\[5pt] 3,\!04\, x + 6,\!184\, y + 1,\!225\, z &=8,\!20, \\[5pt] -2,\!44\, x + 1,\!22\, y + 8,\!44\, z &=3,\!93. \\[5pt] \end{aligned}$$

3. Iterációs módszerrel oldjuk meg az alábbi egyenletrendszerek az adott pontossággal:

$\quad a)\ $

$$A=\begin{pmatrix} 4,\!00 & 0,\!24 & -0,\!08 & 0,\!16\\ 0,\!09 & 3,\!00 & -0,\!15 & -0,\!12\\ 0,\!04 & -0,\!08 & 4,\!00 & 0,\!06\\ 0,\!02 & 0,\!06 & 0,\!04 & -10,\!00\\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 8\\9\\20\\1 \end{pmatrix}\!\!;\quad \varepsilon=0,\!5 \cdot 10^{-3}.$$

$\quad b)\ $

$$A=\begin{pmatrix} 8,\!714 & 2,\!180 & 5,\!684\\ -1,\!351 & 10,\!724 & 5,\!224\\ 2,\!489 & -0,\!459 & 6,\!799\\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 49,\!91\\50,\!17\\32,\!68 \\ \end{pmatrix}\!\!;\quad \varepsilon=0,\!5 \cdot 10^{-4}.$$

4. Oldjuk meg Gauss-Seidel iterációval a következő egyenletrendszereket 0.0001-nél kisebb hibával:

$\quad a)\ $

$$A=\begin{pmatrix} 100 & -2,\!9 & -3,\!8 & -76\\ -0,\!09 & 10 & 0,\!74 & 0,\!63\\ -0,\!081 & 0,\!024 & 1 & -0,\!09\\ -6,\!5 & -7,\!3 & 5,\!8 & 100\\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 65,\!1\\7,\!42\\0,\!903\\80,\!5 \end{pmatrix}\!\!.$$

$\quad b)\ $

$$A=\begin{pmatrix} 1 & -0,\!13 & 0,\!01 & 0,\!04\\ -0,\!11 & 0,\!05 & 0,\!04 & 0\\ -0,\!09 & 0,\!08 & 1 & 0,\!02\\ -0,\!12 & 1 & 0,\!03 & 0,\!03\\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1\\ \end{pmatrix}\!\!.$$

$\quad c)\ $

$$A=\begin{pmatrix} 6 & -1 & -1 \\ -1 & 6 & -1 \\ -1 & -1 & 6 \\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 11,\!33\\32\\42 \end{pmatrix}\!\!.$$

5.2.4. Gradiens módszer

1. Oldjuk meg gradiens módszerrel a következő egyenletrendszereket:

$\quad a)\ $

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4\\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 7\\10 \end{pmatrix}\!\!; \quad x=\begin{pmatrix} x_0\\y_0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\!\!.$$

$\quad b)\ $

$$A=\begin{pmatrix} 4 & -1 & 0\\ -1 & 4 & -1\\ 0 & -1 & 4\\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 2\\6\\2 \end{pmatrix}\!\!; \quad x=\begin{pmatrix} x_0\\y_0\\z_0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\!\!.$$

$\quad c)\ $

$$A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -1 \\ 3 & -2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 5 & 3 \\ \end{pmatrix}\!\!, \quad b=\begin{pmatrix} 3\\-4\\7\\8 \end{pmatrix}\!\!; \quad x=\begin{pmatrix} x_0\\y_0\\z_0\\u_0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\!\!.$$

6. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása

6.1. Fokozatos közelítések módszere

1. Fokozatos közelítések módszerével (fixpont iterációs eljárással) oldjuk meg a következő egyenletrendszereket. A kezdőpontot grafikus módszerrel lehet megállapítani.

$\quad a)\ \begin{cases} \sin(x + y) - y &= 1, \\[5pt] \qquad 2x + \cos y &=1.\\[5pt] \end{cases}$

$\quad b)\ \begin{cases} \displaystyle\frac{\cos(x-y)}{3}-2y &= 0,\\[5pt] \displaystyle\frac{\sin(x + y)}{3} - 2x &=0.\\[5pt] \end{cases}$

$\quad c)\ \begin{cases} 2x^2 - xy -5x +1 &=0,\\[5pt] \qquad x +3\lg x -y^2 &=0,\\[5pt] \end{cases}\\[5pt] \qquad\quad x,\, y >0.$

$\quad d)\ \begin{cases} 2x^2 - xy -y^2 +2x- 2y +6 &=0,\\[5pt] \hphantom{2x^2 - xy -y^2+2x} y - x - 1 &=0.\\[5pt] \end{cases}$

$\quad e)\ \begin{cases} x^2 y^2 -3x^3 -6y^3 +8 &=0,\\[5pt] \hphantom{x^2 y^2 -3x}x^4 -9y + 2 &= 0.\\[5pt] \end{cases}$

$\quad f)\ \begin{cases} 2x^2 -xy -y^2 +2x -2y + 6 &=0,\\[5pt] \hphantom{2x^2 -xy -y^2 +2x}y - x - 1 &=0,\\[5pt] \end{cases}\\[5pt] \qquad\quad 0 \leqslant x \leqslant 0.5;\quad 0 \leqslant y\leqslant x,\\[5pt] \qquad\quad(x^*; y^*) = (1,\!0000; 2,\!0000)$

$\quad g)\ \begin{cases} x = \lg\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right) + 1,\\[5pt] y = 0,\!4 + z^2 - 2x^2,\\[5pt] z = 2 + \displaystyle\frac{xy}{20},\\[5pt] \end{cases}\\[5pt] \qquad\quad(x_0; y_0; z_0) =(1; 2.2; 2)$

6.2. Newton-Kantorovics módszer

1. Newton-Kantorovics (Newton) módszerrel oldjuk meg a következő egyenletrendszereket. A kezdőpontot grafikus módszerrel lehet megállapítani.

$\quad a)\ \begin{cases} x^2 -y &= 3,\!64,\\[5pt] (x +y)^2 &= 2,\!84.\\[5pt] \end{cases}$

$\quad b)\ \begin{cases} \qquad x^3 -z &= 1,\\[5pt] x +y^2 - z &= 2,\\[5pt] 2x-y +z^2 &= 3.\\[5pt] \end{cases}$

$\quad c)\ \begin{cases} e^x +2y &= 9,\!368,\\[5pt] e^{2x} - y^2 &= -20,\!115. \end{cases}$

$\quad d)\ \begin{cases} 2\,x^2 -xy -5\,x +1 &= 0,\\[5pt] \qquad x + 3 \lg x - y^2 &= 0. \end{cases}$

$\quad e)\ \begin{cases} \sin(x - y) - xy &=1,\\[5pt] \qquad\qquad x^2 -y^2 &= 0,\!75. \end{cases}$

$\quad f)\ \begin{cases} \cos(0,\!4\,y +x^2) +x^2 +y^2 -1,\!6 &= 0,\\[5pt] \qquad\qquad \qquad 1,\!5x^2 -\displaystyle\frac{y^2}{0,\!36} -1 &= 0.\\[5pt] \end{cases}\\[5pt] \qquad\quad(x =1,\!03864; y = 0,\!47173)$

$\quad g)\ \begin{cases} \operatorname{tg}(xy +k) &= x^2,\\[5pt] ax^2 +2y^2 &= 1. \\[5pt] \end{cases}\\[5pt] \qquad\quad x >0,\quad y>0,\\[5pt] \qquad\quad a =0,\!5 +0,\!1\,m,\quad k =0,\!1m,\\[5pt] \qquad\quad m = 0, 1, 2, 3, 4.\\[5pt]$

$\quad h)\ \begin{cases} \qquad\qquad e^2xy &=x^2 -y +a,\\[5pt] (x + 0,\!5)^2 +y^2 &= k.\\[5pt] \end{cases}\\[5pt] \qquad\quad x >0,\quad y>0,\\[5pt] \qquad\quad a =1 +0,\!1m,\quad k =0,\!6 + 0,\!1m,\\[5pt] \qquad\quad m = 0, 1, 2, 3, 4.\\[5pt]$

6.3. Gradiens-módszer

1. Gradiens-módszerrel oldjuk meg a következő egyenletrendszereket.

$\quad a)\ \begin{cases} \sin(x + y) - 1,\!3x &= 0,\!1, \\[5pt] \qquad\qquad x^2 +y^2 &= 1. \end{cases}$

$\quad b)\ \begin{cases} x +x^2 -2yz &= 0,\!1, \\[5pt] y -y^2 +3xz &= -0,\!2, \\[5pt] z +z^2 +2xy &= 0,\!3. \end{cases}$

A kezdőpont: $(x_0; y_0; z_0) = (0; 0; 0)$.

7. Legkisebb négyzetek módszere

1. Számítsuk ki az

$\quad x = -1;\, -0,\!5;\, 0;\, 0,\!5;\, 1$

pontokban az

$\quad f(x) =e^x +x$

függvény négyzetesen legjobban közelítő parabola együtthatóit.

2. Adottak a következő táblázatok:

$\quad a)\ $

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x &0,\!78 &1,\!56 &2,\!34 &3,\!12 &3,\!81 \\ \hline f(x) &2,\!5 &1,\!2 &1,\!12 &2,\!25 &4,\!28 \\ \hline \end{array}\end{equation}$

$\quad b)\ $

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x &0 &10 &11 &16 &21 &27 &32 &37 &43 &48 \\ \hline f(x) &8,\!4 &6,\!2 &5,\!6 &5,\!1 &4,\!2 &3,\!4 &3,\!1 &2,\!5 &2,\!1 &1,\!9 \\ \hline \end{array}\end{equation}$

$\quad c)\ $

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x &0,\!2 &0,\!4 &0,\!6 &0,\!8 &1 &2 &4 &6 &8 &10 \\ \hline f(x) &9,\!9 &5,\!1 &3,\!2 &2,\!6 &1,\!9 &1,\!1 &0,\!4 &0,\!43 &0,\!15 &0,\!3 \\ \hline \end{array}\end{equation}$

A következő függvények közül: $$\begin{matrix} ax +b, & be^{ax}, & bx^a, & ba^x, \\[5pt] a + \displaystyle\frac{b}{x}, & \displaystyle\frac{1}{ax + b}, & \displaystyle\frac{x}{ax + b} \\[5pt] \end{matrix}$$

válasszuk azt, amely a táblázattal megadott értékeket négyzetesen legjobban közelíti.

3. Egy radioaktív anyag bomlását a

$$y(t) = y(0) e^{-ct} $$

egyenlet írja le, ahol $y(t)$ a $t$ időpillanatbeli anyagmennyiség, $c>0$. A $T$ felezési időre az

$$y(T) = \frac{y(0)}{2}$$

reláció áll fenn. Az anyagra adott a következő táblázat:

$\quad\begin{equation}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline t_k &1,\!5 &4,\!0 &6,\!5 &9,\!0 &11,\!6 \\ \hline y_k &25,\!9 &22,\!7 &20,\!3 &17,\!7 &15,\!6 \\ \hline \end{array}\end{equation}$

számítsuk ki a $T$ felezési időt.

num-mat/felad.txt · Utolsó módosítás: 2021/07/22 06:18 szerkesztette: beistvan